Historia da Matemática
Por volta dos
séculos IX e VIII A.C., a matemática engatinhava na Babilônia.
Os babilônios e
os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse
para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência organizada.
Na Babilônia, a
matemática era cultivada entre os escrivães responsáveis pelos tesouros reais.
Apesar de todo
material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a
matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos
VIeV A.C., na Grécia.
A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la.
Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.
Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade.
As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo.
O método axiomático-dedutivo consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais.
As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria.
Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos".
Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.
Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática (teoria dos limites).
Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito importante.
No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade de Alexandria.
Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática graga entra no seu ocaso.
A 10 de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse.
Mas a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente.
Os árabes, na sua arremetida, conquistam a Índia encontrando lá outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a Aritmética.
Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO.
A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la.
Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.
Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade.
As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo.
O método axiomático-dedutivo consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais.
As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria.
Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos".
Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.
Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática (teoria dos limites).
Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito importante.
No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade de Alexandria.
Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática graga entra no seu ocaso.
A 10 de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse.
Mas a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente.
Os árabes, na sua arremetida, conquistam a Índia encontrando lá outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a Aritmética.
Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO.
Isto causa uma verdadeira revolução na
"arte de calcular".
Europa os
denominados "Algarismos arábicos", de invenção dos hindus.
Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultou em nossa língua as palavras algarismos e Algoritmo.
Alehwrizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e confonto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra).
A matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar.
No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus.
Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).
Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os utilizamos atualmente.
Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultou em nossa língua as palavras algarismos e Algoritmo.
Alehwrizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e confonto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra).
A matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar.
No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus.
Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).
Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os utilizamos atualmente.
É a álgebra que nasce e se põe em franco desenvolvimento.
Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do matemático francês, François Viete, denominada "Algebra Speciosa".
Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números, segmentos de retas, entes geométricos etc.
No século XVII, a matemática toma nova forma, destacando-se de início René Descartes e Pierre Fermat.
A grande descoberta de R. Descartes foi sem dúvida a "Geometria Analítica" que, em síntese, consiste nas aplicações de métodos algébricos à geometria.
Pierre Fermat era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matemática.
Desenvolveu a teoria dos números primos e resolveu o importante problema do traçado de uma tangente a uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que mais tarde se iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos.
Vemos assim no século XVII começar a germinar um dos mais importantes ramos da matemática, conhecido como Análise Matemática.
Ainda surgem, nessa época, problemas de Física: o estudo do movimento de um corpo, já anteriormente estudados por Galileu Galilei.
Tais problemas dão origens a um dos primeiros descendentes da Análise: o Cálculo Diferencial.
O Cálculo Diferencial aparece pela primeira vez nas mãos de Isaac Newton (1643-1727), sob o nome de "cálculo das fluxões", sendo mais tarde redescoberto independentemente pelo matemático alemão Gottfried Wihelm Leibniz.
A Geometria Analítica e o Cálculo dão um grande impulso à matemática.
Seduzidos por
essas novas teorias, os matemáticos dos séculos XVII e XVIII, corajosa e
despreocupadamente se lançam a elaborar novas teorias analíticas.
Mas nesse ímpeto, eles se deixaram levar mais pela intuição do que por uma atitude racional no desenvolvimento da ciência.
Não tardaram as consequências de tais procedimentos, começando por aparecer contradições.
Um exemplo clássico disso é o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:
S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...
Supondo que se tenha um nº infinito de termos.
Se agruparmos as parcelas vizinhas terá:
S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0 + 0 +.........= 0
Se agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:
S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3
O que conduz a resultados contraditórios.
Esse "descuido" ao trabalhar com séries infinitas era bem característico dos matemáticos daquela época, que se acharam então num "beco sem saída'.
Tais fatos levaram, no ocaso do século XVIII, a uma atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais da matemática.
Pode-se afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática.
Essa revisão se inicia na Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 - 1857), professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris.
Cauchy realizou notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quais destacamos duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries" e "Lições sobre aplicação do cálculo à geometria".
Paralelamente, surgem geometrias diferentes da de Euclides, as denominadas Geometrias não euclidianas.
Por volta de 1900, o método axiomático e a Geometria sofrem a influência dessa atitude de revisão crítica, levada a efeito por muitos matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua obra "Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie" título do original), publicada em 1901.
Mas nesse ímpeto, eles se deixaram levar mais pela intuição do que por uma atitude racional no desenvolvimento da ciência.
Não tardaram as consequências de tais procedimentos, começando por aparecer contradições.
Um exemplo clássico disso é o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:
S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...
Supondo que se tenha um nº infinito de termos.
Se agruparmos as parcelas vizinhas terá:
S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0 + 0 +.........= 0
Se agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:
S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3
O que conduz a resultados contraditórios.
Esse "descuido" ao trabalhar com séries infinitas era bem característico dos matemáticos daquela época, que se acharam então num "beco sem saída'.
Tais fatos levaram, no ocaso do século XVIII, a uma atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais da matemática.
Pode-se afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática.
Essa revisão se inicia na Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 - 1857), professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris.
Cauchy realizou notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quais destacamos duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries" e "Lições sobre aplicação do cálculo à geometria".
Paralelamente, surgem geometrias diferentes da de Euclides, as denominadas Geometrias não euclidianas.
Por volta de 1900, o método axiomático e a Geometria sofrem a influência dessa atitude de revisão crítica, levada a efeito por muitos matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua obra "Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie" título do original), publicada em 1901.
A Álgebra e a Aritmética tomam novos impulsos.
Um problema que preocupava os matemáticos era o da possibilidade ou não da solução de equações algébricas por meio de fórmulas que aparecessem com radicais.
Já se sabia que em equações do 2º e 3º graus isto era possível; daí surgiu à seguinte questão: será que as equações do 4º graus em diante admitem soluções por meio de radicais?
Em trabalhos publicados por volta de 1770, Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde (1735-96) iniciaram estudos sistemáticos dos métodos de resolução.
À medida que as pesquisas se desenvolviam no sentido de achar tal tipo de resolução, ia se evidenciando que isso não era possível.
No primeiro terço do século XIX, Niels Abel (1802-29) e Evariste de Galois (1811-32) resolvem o problema, demonstrando que as equações do quarto e quinto grau em diante não podiam ser resolvidas por radicais.
O trabalho de Galois, somente publicado em 1846, deu origem a chamada "teoria dos grupos" e à denominada "Álgebra Moderna", dando também grande impulso à teoria dos números.
Com respeito à teoria dos números não nos podemos esquecer das obras de R. Dedekind e Gorg Cantor.
R. Dedekind define os números irracionais pela famosa noção de "Corte".
Georg Cantor dá início à chamada Teoria dos conjuntos, e de maneira arrojada aborda a noção de infinito, revolucionando-a.
A partir do século XIX a matemática começa então a se ramificar em diversas disciplinas, que fica dada vez mais abstratas.
Atualmente se desenvolvem tais teorias abstratas, que se subdividem em outras disciplinas.
Os entendidos afirmam que estamos em plena "idade de ouro" da Matemática, e que nestes últimos cinquenta anos tem se criado tantas disciplinas, novas matemáticas, como se haviam criado nos séculos anteriores.
Esta arremetida em direção ao "Abstrato", ainda que não pareça nada prática, tem por finalidade levar adiante a "Ciência".
A história tem mostrado que aquilo que nos parece pura abstração, pura fantasia matemática, mais tarde se revela como um verdadeiro celeiro de aplicações práticas.
Ciência dos Gregos
Se nos fosse
possível voltar à época de 640 a.C., na então florescente cidade de Mileto
encontraríamos um próspero comerciante, já muito famoso, por, entre outras
coisas, ter predito um eclipse ocorrido em maio de 585 a.C.
Chamam-se
Tales, e foi posteriormente incluído entre os denominados "sete sábios da
Antiguidade". Sendo comerciante, teve oportunidade de tomar contacto com a
matemática dos egípcios.
A matemática
egípcia tinha um caráter eminentemente prático; não era formada por um corpo de
conhecimentos interligados, mas sim, por conhecimentos esparsos.
Um dos poucos
fragmentos de que dispomos dos conhecimentos matemáticos dos egípcios se acham
no denominado papiro de Rhind, de autoria do escriba Ahmes.
Esse papiro é a
assim chamado em honra a um antiquário escocês que o comprou em 1858 de um
mercador da cidade de Luxor, às margens do Nilo.
Em tal papiro
encontramos as seguintes palavras (sobre o objetivo mesmo): "direção para
saber todas as coisas obscuras".
Euclides
Pouco se sabe
com certeza da vida de Euclides.
Sabemos que
viveu em Bizâncio entre os anos de 485 a 410 a.C.
Euclides foi o
primeiro diretor do Museu, e, graças a isso, pode organizar os resultados
obtidos por matemáticos anteriores (Tales, Pitágoras, Eudoxo e outros).Tal
organização se acha em sua imortal obra, modestamente intitulada de "Os
Elementos'.
"Os
Elementos" é um conjunto de 13 livros dedicados ao fundamento e
desenvolvimento lógico e sistemático da geometria.
O primeiro
livro trata das questões que são fundamentais para a geometria, e o seu estilo,
sua ordenação serviu de normas diretoras para todas as outras obras posteriores
da matemática. Os princípios dos qual parte Euclides para edificar a geometria
são as definições, os postulados e os entes primitivos.
As definições
são, no início, em número de 23, e ao todo, no texto, atingem 120. Por exemplo,
no primeiro livro, encontramos as seguintes definições:
"Ponto é
aquilo que não tem partes"
"Reta é o
comprimento sem espessura"
"Superfície
é o que tem unicamente comprimento e largura"
"Retas
paralelas são aquela que, estando em um mesmo plano, não se encontram ao serem
prolongadas indefinidamente".
Essas
definições, agora nos parecem um tanto ingênuas e despidas de rigor lógico, mas
tenhamos em conta a época em que foram escritas e o pioneirismo de Euclides.
Adotando em seguida 10 postulados Euclides deduz seus teoremas. A partir do dia
de seu aparecimento "Os Elementos" se tornou a obra clássica da
Geometria, e de tal modo foi difundida que chegou a sobrepujar o seu autor, a
ponto de, na Idade Média, se negar a existência física de Euclides.
Os sucessos de Euclides
Depois de
Euclides, dois matemáticos de gabariot apareceram em Alexandria: Apolônio e
Arquimedes, sendo este último considerado uma das maiores personagens da
Antiguidade.
É interessante
notar-se que tanto Apolônio como Arquimedes fizeram suas investigações matemáticas
dentro de um espírito platônico, isto é, na mais alta abstração dos fatos
concretos que deram origem às mesmas.
Apolônio
dedicou-se principalmente ao estudo de uma família de curvas denominadas de —
cônicas.
Apolônio
recebeu um apelido curioso de seus discípulos, o de Épsilon, em virtude de sua
sala de aula ser designada pela letra grega épsilon. Podemos dizer que
Apolônio, com a sua obra, deu um "fecho de ouro" na geometria grega.
Mas ele ainda não seria o último; em seguida nos encontramos com um verdadeiro
gênio — Arquimedes de Sirascusa.
Arquimedes — O "Newton" grego
Arquimedes
nasceu na cidade de Siracusa no ano 287 a.C., descendente da família real.
Embora da época tão remota podemos considerar Arquimedes como um moderno em
pesamento. Realmente podemos equipará-lo com o genial físico e matemático
inglês Isaac Newton.
Arquimedes não
foi só matemático, mas também inventor. Seus inventos eram baseados no que hoje
chamamos de máquinas simples — alavancas, roldanas, sarilhos. É famosa a sua
afirmação (querendo ressaltar os efeitos de uma avança):
"Dai-me um
ponto de apoio e eu moverei o mundo".
Arquimedes
construiu muitos engenhos de guerra, através dos quais a sua cidade, Siracusa,
conseguiu resistir às hostes romanas durante mais de dois anos. Sabe-se que
Arquimedes incendiou e destruiu uma esquadra romana, usando espelhos
parabólicos. Aida é sua descoberta o "parafuso sem fim", o qual
utiliza para elevação da água.
Um problema
onde Arquimedes mostrou toda a sua habilidade como matemático foi, sem dúvida,
aquele para se calcular a àrea de um círculo de raio R.
Para isso ele
usou um raciocínio que só mais tarde (1600 a 1700 d.C.) iria ser utilizado por
Newton e Leibniz na invenção do cálculo infinitesimal.
Seja S a área
do círculo. Dividimos tal círculo em número muito grande de partes iguais (por
meio de triângulos). Obtemos assim um polígono cuja área A é menor que S (área
do círculo). Coloquem-se agora tais triângulos sobre uma reta.
O segmento AB
tem para medida um número que chamaremos de P. P é o menor que o comprimento de
C da circunferência do círculo.
Com esta tira
de triângulos podemos formar um "retângulo" de altura R
(aproximadamente) e base 1/2P, obtido dobrando-a ao meio (para um número finito
de triângulos, temos um paralelogramo).
A área desses
"retângulo" é A e é menor que S.
A área de A se
aproximará de S quanto maior for o número de divisões. Se o número n de
divisões for infinito, a área A coincidirá com S e o comprimento P coincidira
com c.
Um outro
problema que sempre apaixonou Arquimedes, e que, segundo ele, era "o mais
difícil", foi o de encontrar a relação entre o volume do cone, da esfera e
do cilindro, um colocado dentro do outro (cone e cilindro equiláteros, inscrito
e excrito na esfera)
Uma famosa
descoberta de Arquimedes é o conhecido "Princípio de Arquimedes", da
hidrostática, que diz:
“Todo corpo
imerso em um fluido recebe deste um empuxo vertical (de baixo para cima) em
intensidade igual ao volume deslocado do fluido".
Conta a lenda
(narrada posteriormente pelo arquiteto romano vitrúvio) que Arquimedes
descobriu tal princípio enquanto tomava banho, e que saiu gritando pelas ruas —
"Eureka, Eureka! que quer dizer "Achei"!
Por volta do
ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e
armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em
cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam
surgindo, graças, sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores
passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades.
Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se
artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.
Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito. Você certamente já ouviu falar nas pirâmides do Egito. Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.
Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. 3 + 5 = 8 Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito. Você certamente já ouviu falar nas pirâmides do Egito. Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.
Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. 3 + 5 = 8 Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
Contando com os egípcios
O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no
Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45
Os papiros da Matemática egípcia
Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou. O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres. O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor.
A técnica de calcular dos egípcios
Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a multiplicação:
Número de parcelas Resultado 1 9 2 18 4 36 8 72
Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
1 + 4 + 8 = 13 O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:
9 + 36 + 72 = 117 Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os números inteiros não serviam.
Descobrindo a fração
Por volta do
ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris... “... repartiu o solo do
Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levava qualquer
parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e
determinarem por medida a extensão exata da perda.” Estas palavras foram
escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos. O rio Nilo
atravessa uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do
Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região
ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas uma
estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. Desde a Antigüidade,
as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi
nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia.
Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.
Sesóstris
repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.
Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a
subir. Era o início da inundação, que durava até setembro. Ao avançar sobre as
margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par
marcar os limites do terreno de cada agricultor. Usavam cordas para fazer a
medição. Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas
encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela
unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas
como estiradores de cordas. No entanto, por mais adequada que fosse a unidade
de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do
terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o
número fracionário. Para representar os números fracionários, usavam frações.
As complicadas frações egípcias
Contando com os romanos
Apesar de a
maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza,
usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e
festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de
miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha
sendo usado desde a época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram
isso?
O sistema de numeração romano
Quando
apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.
II = 1 + 1 = 2
XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30
Quando dois
números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os
seus valores.
IV = 4 porque 5
- 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90
Mas se o número
maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.
VI = 6 porque 5
+ 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60
porque 50 + 10 = 60
Ao lermos o
cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV
prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os
romanos faziam:
Em primeiro
lugar buscavam a letra de maior valor. M = 1.000
Como antes de M
não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.
D = 500
Depois tiravam
de D o valor da letra que vem antes.
D – C = 500 –
100 = 400
Somavam 400 ao
valor de M, porque CD está depois e M.
M + CD = 1.000
+ 400 = 1.400
Sobrava apenas
o V. Então:
MCDV = 1.400 +
5= 1.405
Os milhares
Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M. Assim,
MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000. E os números maiores que 3.000? Para
escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço
horizontal sobre as letras que representavam esses números. Um traço
multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000. Dois traços sobre o M
davam-lhe o valor de 1 milhão. O sistema de numeração romano foi adotado por
muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema. Por
isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos
mais simples e mais apropriados para representar os números. E como resultado
dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a
história da Matemática: O sistema de numeração decimal.
Afinal os nossos números
No século VI
foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa
espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte
e a cultura vindas da Grécia. Ao participar de uma conferência num destes
clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato
de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:
“Existem outros
povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm valiosos
métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são
feitos por apenas nove sinais!”. A referência a nove, e não dez símbolos,
significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu
sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao
Ocidente. A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia –
um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram
necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a
introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o
conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler
e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes
símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Se foram os matemáticos
hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver
com isso? E por que os símbolos
0 1 2 3 4 5 6 7
8 9 são chamados de algarismos?
Os árabes
divulgam ao mundo os números hindus
Simbad, o
marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares
para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são
apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa
de Bagdá, do ano 786 até 809. Durante o seu reinado os povos árabes travaram
uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos
centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o
califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era
muito vaidoso. Dizia com toda a convicção. “Não há ninguém mais culto em todos
os ramos do saber do que eu”. Como era um apaixonado da ciência, o califa
procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os
grandes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava o mais brilhante
matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi. Estudando os livros de
Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi
surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo
de ganso! Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus
haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam
feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme
importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática.
Os números racionais
Com o sistema
de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele
fosse.
0 13 35 98
1.024 3.645.872 Como estes números foram criados pela necessidade prática de
contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais. Os números
naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. Não havia
mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de
dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fracionário
passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão
em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números
fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por
isso, são chamados de números racionais. A descoberta de números racionais foi
um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.
Referencias:
FONTE:
“LISA - BIBLIOTECA DA MATEMÁTICA MODERNA : OLIVEIRA, ANTÔNIO MARMO DE
http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page01.htm
Nenhum comentário:
Postar um comentário